Coding The Matrix를 보면서 벡터의 생성, 선형결합, 벡터공간, 아핀공간의 정의에 대해 자주 잊어버려 읽을 때 참고하고자 이를 정리하고자 한다.
벡터들 의 모든 선형결합으로 이루어진 집합을 이 벡터들의 생성이라하고 라고 쓴다.
이 정의를 이해하기 위해서는 선형결합이 무엇인지 먼저 알아야한다.
각각을 벡터라고 하자. 의 선형결합을 다음과 같은 합이라고 정의하자.
여기서, 은 스칼라이다. 이 선형결합에서 각각은 계수라고 한다. 은 의 계수이고, 은 의 계수이며, …, 은 의 계수이다.
문득 궁금했던 것이 생성은 영벡터를 항상 포함하는지 궁금하였다. 생성은 벡터들 의 모든 선형결합으로 이루어진 집합이기 때문에 영벡터를 항상 포함할 것으로 생각된다.
아래와 같이 상의 에 있는 벡터를 살펴보면,
생성의 4개의 벡터가 있음을 볼 수 있는데, 선형결합의 계수가 모두 0인 경우에 영벡터를 포함하게된다. 계수의 범위를 한정 지어주거나, 평행이동을 하지 않는 이상 생성에는 영벡터가 포함되는 것이 아닐까한다.
벡터들의 집합 V가 Property V1, V2, V3를 만족하면, 벡터공간이라고 한다.
어떤 벡터들의 생성과 동차 선형 시스템의 해집합은 벡터공간이다. 두 경우 모드 영벡터를 포함하고 덧셈, 곱셈에 닫혀있다.
아핀공간은 벡터공간을 평행이동한 결과이다. 즉, 집합 는 다음을 만족하는 벡터 와 벡터공간 가 있으면 아핀공간이다.
즉 이다.
원점을 지나지 않는 직선에 대해서 어떻게 생성으로 표현할 것인가에 대해 궁금하였었는데, 벡터공간을 평행이동한 아핀공간을 통하여 표현하면 된다.