[Coding The Matrix] 벡터의 생성과 동차 선형시스템의 해집합의 관계에 대한 예제

Coding The Matrix 4장(원서 3장) 벡터공간에서 원점을 포함하는 flat의 다음 두 가지 표현에 대해 설명한다.

• 어떤 벡터들의 생성으로서
• 동차 선형시스템의 해집합으로서

이 글에서 작성하고자 하는 내용은 이 표현들의 설명은 아니다. 단지, 책에서 이 두가지 표현에 대한 예제가 나오는데 해당 예제에 대해서 스터디에서 많은 의견이 오고가서 이에 대해 정리하고자 한다. 두 예제는 아래와 같다.

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• Example 4.3.7

평면

은 다음과 같이

우변이 영인 선형방적식의 해집합으로 나타낼 수 있다.

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• Example 4.3.10

직선

은 다음과 같이

두 동차 선형방정식 쌍들의 해집합으로 나타낼 수 있다.

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Example 4.3.7의 도출은 $ax+bx+cz=0$에 대입하여 연립방정식을 정리하면 쉽게 도출할 수 있었다. 하지만, Example 4.3.10의 경우는 저 두 평면이 교차하는 직선(두 동차 선형방정식의 해집합)이 생성과 동일하다는 것만 이해되고 어떠한 기준에서 두 동차 선형방정식이 도출된 것인지 알 수 없었다.

우선 Example 4.3.7의 경우, 생성과 해집합 모두 깔끔하게 아래와 같은 평면으로 표현할 수 있어서 이해하기 쉬웠다.

• Example 4.3.7 - GeoGebra

Example 4.3.10의 경우에도 각각 생성과 해집합이 아래와 같은 두 평면이 교차하는 직선인 것은 쉽게 이해할 수 있었다.

• Example 4.3.10

계속 의문을 가졌던 것은 위 생성에서 어떻게 두 동차 선형방정식을 도출할 수 있을까였다. 계속 이런 저런 이야기를 하다보니, 평면이 교차해서 생기는 직선은 무수히 많을 수 있다는 것을 간과하고 있다는 것을 깨달았다. 예제에서 든 두 동차 선형방정식 외에도 얼마든지 다른 방정식의 쌍을 예로 들어도 되었을 것이다.

덧붙여서 이와 관련된 검색을 하던 도중에 흥미로운 StackExchange에 올라온 How to turn span into linear equality constraint?글의 질문과 답변을 보았다.

필자는 Example 4.3.7를 도출하기 위해 $ax+bx+cz=0$에 대입하여 연립방정식으로 정리하였는데, 위 질문에서는 이를 행렬로 정리하는 것을 보았다.

$e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1.65\end{array}\right]$ 와 $e_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ 의 생성에 놓여있는 $u=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ 는 $u=\lambda e_1+\mu e_2$를 만족할 것이다.

이때 아래와 같이 가우스 정리를 통해 정리하면,

마지막 행의 마지막 요소인 $z-1.65x-y$은 우변인 $0$을 만족하여야한다.

위와 같이 가우스 소거법을 사용하여 정리하면 좀 더 계산하기 쉽게 동차 선형방정식을 도출할 수 있다. 특히 Example 4.3.7와 달리 더 높은 차원에서 동차 선형방정식을 구해야할 경우에 유용할 것 같다.